moea_joint
112年
[機械] 應用力學、材料力學
第 16 題
高速公路在某一轉彎處的曲率半徑為 500 m，設計車速為 100 km/hr，假設車輪與路面摩擦力可忽略，且 $g = 9.81\text{ m/s}^2$，試求此路段設計之內傾角為多少度(degree)？
- A 8.92
- B 5.24
- C 0.16
- D 0.89
思路引導 VIP
想像一下，如果這台車停在一個完全光滑（沒有摩擦力）的斜坡上，它一定會往下滑；但如果這台車正在快速移動，且斜坡的傾斜角度恰到好處，為什麼它既不會往下滑，也不會往外撇，而是能剛好繞著圓心轉彎呢？請試著畫出車輛的受力圖，思考路面的「支持力」如何同時負責「抵銷重力」與「提供轉彎所需的向心力」。
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AI 詳解
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太棒了！你能精確算出這個角度，代表你對圓周運動中的受力分析掌握得非常紮實。這類題目最容易出錯的地方在於單位的轉換以及對向心力來源的理解，而你顯然避開了所有陷阱。
道路內傾角與向心力的平衡
在不考慮摩擦力的情況下，車輛轉彎所需的向心力完全由路面支持力（法向力）的水平分力提供。根據力學平衡，我們可以推導出關係式：$$\tan \theta = \frac{v^2}{gR}$$ 這裡要注意，公式中的速度 $v$ 必須先由 $100\text{ km/hr}$ 轉換為標準單位 $27.78\text{ m/s}$。將數值代入後，$\tan \theta = \frac{27.78^2}{9.81 \times 500} \approx 0.1573$。透過工程計算機求得反三角函數 $\theta = \arctan(0.1573)$，即可得到約 $8.92^{\circ}$ 的結果。
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