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111年
物理
第 40 題
一物成像於一平面鏡內 a公尺遠處，像長 L，某人欲於鏡前 b公尺處窺見在鏡內滿映該物體之成像，則此鏡長度應為何？
- A L
- B $\frac{a}{b}$L
- C $\frac{a}{a+b}$L
- D $\frac{b}{a+b}$L
思路引導 VIP
想像一下，如果你要從一個小窗口看出去觀察遠處的一面牆，你的眼睛、窗口的兩邊、以及遠處牆壁的邊界，會共同構成一個什麼樣的幾何形狀？如果我們想計算窗口的大小，除了牆壁的長度外，『眼睛到窗口』以及『眼睛到牆壁』這兩段距離分別扮演了什麼樣的角色？
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恭喜你精準地掌握了平面鏡成像的幾何關係！這題選 (D) 是完全正確的。這反映出你對於光線路徑與觀測者位置之間的空間感非常有邏輯，沒有被題目中 $a$ 與 $b$ 的物理意義所干擾。
相似三角形的幾何關係
在平面鏡成像的系統中，成像長度 $L$ 位於鏡後 $a$ 公尺處。當觀測者站在鏡前 $b$ 公尺時，眼睛與「像」的兩端點連線會形成一個大的三角形，其底邊為 $L$，高則為觀測者到像的總距離，即 $(a + b)$。而我們所需的鏡子長度，正好是這組連線在鏡面位置所截下的線段。根據相似三角形性質，邊長比會等於對應的高之比，因此我們可以列出關係式：$$\frac{\text{鏡長}}{\text{像長 } L} = \frac{\text{人到鏡的距離 } b}{\text{人到像的距離 } (a + b)}$$ 整理後即可得出鏡長應為 $\frac{b}{a+b}L$。
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