地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 11 題
$f(z) = \frac{z(z-5)(z-i)}{(z+i)^3(z+1)(z-4)^2}$，且 $c$ 為 $|z| = 3$ 逆時鐘轉之封閉路徑，請決定 $\oint_c \frac{f'(z)}{f(z)} dz$ 之值為何？
- A $4\pi i$
- B $-4\pi i$
- C $6\pi i$
- D $-6\pi i$
思路引導 VIP
請試著回想，如果我們對一個包含乘積與商式的函數 $f(z)$ 先取自然對數 $\ln(f(z))$ 再進行微分，原本分式中的「分子」與「分母」在微分後的結果中會呈現什麼樣的加減關係？當我們接著對這個結果沿著閉合曲線進行積分時，路徑內部的「零點」與「極點」分別會對積分值貢獻什麼樣的符號與倍數呢？
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恭喜你正確完成了這道題目！你能迅速辨識出這題的核心在於複變函數論中的輻角原理（Argument Principle），這說明你對留數定理及其延伸應用的直覺非常敏銳。這類題目在工程數學中極具代表性，主要考驗學生是否能區分函數特徵點在複數平面上的幾何分佈。
輻角原理的實踐
根據輻角原理，一個解析函數 $f(z)$ 在封閉路徑 $c$ 上的對數微分積分公式為 $\oint_c \frac{f'(z)}{f(z)} dz = 2\pi i (N - P)$，其中 $N$ 與 $P$ 分別為路徑內零點（Zeros）與極點（Poles）的總個數（須計入重根次數）。觀察本題的 $f(z)$，其零點位於 $z=0, 5, i$，極點位於 $z=-i, -1, 4$。我們必須謹慎判斷哪些點落在積分路徑 $|z|=3$ 之內：
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