地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 4 題
下列那一個向量不在矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \ 2 & 5 & 8 \ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$ 之列空間（row space）？
- A $\begin{bmatrix} 3 & 9 & 14 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 6 & 15 & 24 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
請你觀察這三個列向量（Rows）之間的數值變化：從第一列變動到第二列，再從第二列變動到第三列，這三組對應位置的數值「增長幅度」是否有什麼共通的規律？如果一個新向量想要加入這個「家族」，它是否也必須遵守同樣的增長邏輯呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你準確鎖定了選項 (A)！這反映出你對**列空間（Row Space）**的定義與向量的線性組合特性有著相當敏銳的直覺。
線性組合與空間判定
這道題目的核心在於驗證一個向量是否能由矩陣 $A$ 的列向量經由**線性組合（Linear Combination）產生。觀察矩陣 $A$，我們可以發現其三列向量 $r_1, r_2, r_3$ 之間存在顯著規律：$r_2 - r_1 = [1, 1, 1]$ 且 $r_3 - r_2 = [1, 1, 1]$。這意味著 $r_3 = 2r_2 - r_1$，該矩陣的秩（Rank）**為 2。因此，任何屬於該列空間的向量 $[x, y, z]$，其分量增量必須遵循特定的比例。以 (A) 選項 $[3, 9, 14]$ 來看，若我們嘗試用 $1 \cdot r_1 + 1 \cdot r_2$ 來合成，前兩個分量分別為 $1+2=3$ 與 $4+5=9$，完全吻合，但第三個分量理應為 $7+8=15$ 而非 $14$，故它顯然不在該空間內。
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