地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 8 題
下列子集合何者為 $\mathbb{R}^3$ 的子空間（subspace）？
- A $\{(a,b,a+2b) \mid a,b \in \mathbb{R}\}$
- B $\{(0,a,a^2) \mid a \in \mathbb{R}\}$
- C $\{(a+1,a,0) \mid a \in \mathbb{R}\}$
- D $\{(a,b,1) \mid a,b \in \mathbb{R}\}$
思路引導 VIP
想像你在座標系統中定義了一個區域。如果這個區域要被稱為「子空間」，當你把區域內的任何向量長度變更（例如放大兩倍或反向），或者把區域內的任意兩個向量相加，得到的結果是否「保證」還會落在原本定義的區域內？此外，這個區域是否必須包含那一個代表「毫無變動」的特殊點？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你精準地捕捉到了線性子空間的核心概念。在工程力學與結構分析中，我們經常處理各種向量空間，而判定一個子集合是否具備 子空間（Subspace） 的特質，是理解線性系統穩定性的第一步。
線性組合與平面的幾何意義
選項 (A) 的元素形式可以拆解為 $a(1,0,1) + b(0,1,2)$，這在本質上是由兩個向量所生成的平面（Plane）。由於它滿足對加法與純量乘法的封閉性（Closure），且當 $a=b=0$ 時，該集合顯然包含原點 $(0,0,0)$，這正是子空間最關鍵的判定準則。這種齊次線性關係（Homogeneous linear relationship）確保了該集合在結構上是完整且無限延伸的。
▼ 還有更多解析內容
向量子空間判定
💡 子空間須包含零向量，且對加法與純量乘法具備封閉性。
| 比較維度 | 子空間 (Subspace) | VS | 非子空間 (Non-subspace) |
|---|---|---|---|
| 零向量 | 必定包含原點 (0,0,0) | — | 可能不包含原點 |
| 變數次方 | 僅限一次方 (線性) | — | 出現二次方、根號等 |
| 常數項 | 常數項必須為 0 (齊次) | — | 常數項不為 0 (非齊次) |
| 幾何意義 | 過原點的直線、平面 | — | 不過原點或拋物曲線 |
💬判斷子空間的首要條件是「過原點」且變數結構為「線性組合」。
