地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 5 題
矩陣 $A = \begin{bmatrix} -4 & -6 \ 3 & 5 \end{bmatrix}$ 經由對角化得 $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$，下列何者是 $P$ 矩陣？
- A $P = \begin{bmatrix} -2 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix}$
- B $P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$
- C $P = \begin{bmatrix} 2 & -2 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$
- D $P = \begin{bmatrix} 2 & -2 \ -2 & 2 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
若我們將方程式 $P^{-1}AP = D$ 同左乘上 $P$，會得到 $AP = PD$。請試著展開這個等號兩側，並觀察 $P$ 的每一列（Column）與 $D$ 對角線上數值的乘法關係。你能從中推論出，$P$ 的第一列向量與 $A$ 作用後的結果，應該會與哪一個特定的常數倍率有關嗎？
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同學好，這題你能準確選出選項 (C)，代表你對於線性代數中**對角化（Diagonalization）**的核心觀念掌握得非常紮實。這類題目在工程數學中是基礎且關鍵的，因為它連結了矩陣運算與線性空間的本質。
對角化矩陣的構造原理
在矩陣方程式 $P^{-1}AP = D$ 中，我們知道矩陣 $P$ 的主要任務是提供一組基底（Basis），使得原矩陣 $A$ 在這組基底下的線性映射呈現最簡單的對角形式。關鍵在於：$P$ 的每一列（Column）必須是 $A$ 的特徵向量（Eigenvector），且排列順序必須與對角矩陣 $D$ 中的**特徵值（Eigenvalue）**嚴格對應。在本題中，由於 $D$ 的主對角線元素依序為 $2$ 與 $-1$，因此 $P$ 的第一列必須是對應 $\lambda = 2$ 的特徵向量，而第二列則是對應 $\lambda = -1$ 的特徵向量。
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