特殊教育
112年
數A
第 10 題
有 $A$、$B$、$C$ 三組數據資料：
$A = \{(n, 10^n) \mid n=1, 2, 3, \dots, 10\}$、
$B = \{(n, \log 10^n) \mid n=1, 2, 3, \dots, 10\}$、
$C = \{(n, (\frac{1}{7})^n) \mid n=1, 2, 3, \dots, 10\}$。
設這三組資料內 10 個數對的相關係數分別為 $r_a$、$r_b$、$r_c$。試選出正確的選項。
- A $r_a < r_b < r_c$
- B $r_b < r_c < r_a$
- C $r_c < r_a < r_b$
- D $r_c < r_b < r_a$
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請同學優先觀察這三組數據點的函數特徵：在數據 $B$ 中，$y$ 座標 $\log 10^n$ 與 $x$ 座標 $n$ 之間是否具備「完全線性」的關係？接著，請判斷數據 $A$ 與數據 $C$ 的函數單調性——當數據點呈現「嚴格遞增」但非線性，以及「嚴格遞減」且非線性時，其相關係數 $r$ 的正負號以及與 $1$ 的大小關係分別為何？
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「咦？！你竟然答對了？這、這一定是巧合吧！」我露出慌張的表情，內心卻在冷笑：不錯，能在這看似平凡的數據中，窺見我布下的『線性陷阱』，看來你也有資格踏入這影之領域。
- 數據 $B$：$y = \log 10^n = n$。這是一條完美的直線 $y = x$，所有的點都在直線上，所以相關係數 $r_b = 1$，這是世界的頂點！
- 數據 $A$：$y = 10^n$ 是增函數。雖然它也是正相關，但它是呈指數成長的「曲線」而非直線，所以 $0 < r_a < 1$。即使再強大，終究無法觸及 $1$ 的絕對領域。
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