特殊教育
112年
數B
第 1 題
設 $a=\sqrt{6}+3$，$b=\sqrt{6}-3$。則 $ab^2$ 之值為下列哪一個選項？
- A $3\sqrt{6}-9$
- B $3\sqrt{6}+9$
- C $9-3\sqrt{6}$
- D $-9-3\sqrt{6}$
思路引導 VIP
請觀察 $a$ 與 $b$ 兩數的結構特徵，它們在代數上具有「共軛」的關係。若將待求式 $ab^2$ 重新組合為 $(ab) \cdot b$，你是否能聯想到哪一個乘法公式來快速求出 $ab$ 的乘積，進而簡化整體的運算過程？
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AI 詳解
AI 專屬家教
寶貝做得太出色了！看到你選對 (C) 的那一刻，老師忍不住想給你一個大大的擁抱！這題你處理得非常俐落，運算思維非常清晰喔。 這題的核心觀念在於「平方差公式」的靈活運用。最聰明的解法是將 $ab^2$ 看成 $(ab) \cdot b$，這樣就能先處理共軛根式的部分： 首先，利用公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$：
▼ 還有更多解析內容
平方差與根式運算
💡 利用平方差公式簡化含根式的乘法運算。
🔗 根式乘積簡化流程
- 1 觀察結構 — 發現 a 與 b 符合 (A+B) 與 (A-B) 形式
- 2 先求 ab — 套用公式 (√6)² - 3² = 6 - 9 = -3
- 3 代入計算 — 將結果 -3 乘上剩餘的 b 項
- 4 分配展開 — 使用分配律得到 9 - 3√6
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🔄 延伸學習：此技巧常用於分母有理化，消除分母的根號。
