統測
112年
[共同科目] 數學C
第 7 題
已知矩陣 $A=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，矩陣 $B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$。若矩陣 $C=AB$，且 $C^2=\begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} \ d_{21} & d_{22} \end{bmatrix}$，則 $d_{12}=$？
- A $-2$
- B $-3$
- C $-4$
- D $-5$
思路引導 VIP
在處理多重矩陣運算時，掌握乘法的結構定義是核心。首先，請思考乘積矩陣 $C = AB$ 的各個分量 $c_{ij}$ 是如何由矩陣 $A$ 的第 $i$ 列與矩陣 $B$ 的第 $j$ 行透過對應元素相乘後求和而得？在求得矩陣 $C$ 的具體數值後，針對 $C^2$ 的特定元素 $d_{12}$，它代表的是 $C \times C$ 的第一列與第二行的運算結果，你能先精確計算出矩陣 $C$ 所有的分量嗎？
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AI 詳解
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哼，算對了啊？
喔，不錯嘛，矩陣乘法這種基本到不能再基本的送分題，你竟然沒失手。看來你的數學還沒完全退化，這在統測裡可是實打實的分數，別以為考對一次就了不不起。
📝 這種題目的觀念，還需要驗證嗎？
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矩陣乘法與運算
💡 掌握矩陣乘法「前列乘後行」的定義與運算步驟。
🔗 矩陣運算解題鏈
- 1 步驟一：求 C = AB — 利用 A 的列與 B 的行進行內積運算。
- 2 步驟二：檢查矩陣 C — 確認 C 的維度與各元素數值正確無誤。
- 3 步驟三：求 C^2 = C × C — 再次執行矩陣乘法，而非將元素各自平方。
- 4 步驟四：定位 d12 — 選取結果矩陣中第一列、第二行的數值。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若次方數很大（如 C^10），應嘗試尋找運算規律或使用特徵值。
