高考申論題
112年
[統計] 統計學
第 二 題
📖 題組：
一、若隨機變數Y|X = x ~ U(0, x)且X ~ U(0,1)，其中U代表連續均勻分配。 試求：
一、若隨機變數Y|X = x ~ U(0, x)且X ~ U(0,1)，其中U代表連續均勻分配。 試求：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
Y的機率密度函數fY(y)。（5分）
思路引導 VIP
要求 Y 的邊際機率密度函數，需將聯合密度函數對 x 進行積分。思考時務必從上一題決定的聯合定義域 0 < y < x < 1 中，找出對 x 積分時正確的上下限：當給定 y 時，x 的範圍是從 y 到 1。
小題 (一)
(X, Y)的聯合密度函數fXY(x, y)。（5分）
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出給定的是邊際分配與條件分配。回憶聯合密度、邊際密度與條件密度之間的關係：f(x,y) = f(y|x)f(x)。接著將已知的分配代入，並特別留意隨機變數 x 與 y 的有效定義域（support），這是這類題目最容易扣分的地方。
小題 (三)
E(Y)、Var(Y)、E(XY)、Cov(X, Y)、ρXY。（15分）
思路引導 VIP
這是一連串動差與共變異數的計算。有兩種常見解法：一是直接用聯合與邊際分配進行多重積分；二是利用「條件期望值定理（雙重期望值）」來大幅簡化計算過程。建議採用後者，先寫出 E(Y|X) 與 Var(Y|X)，再逐步推導出 E(Y), Var(Y) 以及 E(XY)。