調查局三等申論題
112年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
一、求 $y'' - \frac{4}{x}y' + \frac{4}{x^2}y = x^2 + 1$ for $x>0$, 的通解（general solution）。（15 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
觀察方程式型態，發現方程式兩邊同乘 $x^2$ 後，各項 $x$ 的冪次與導數階數相同，此為典型的柯西-尤拉（Cauchy-Euler）方程式。解題關鍵在於利用變數變換 $x = e^t$ 將其轉換為「常係數」線性微分方程，再利用待定係數法或參數變異法求出通解。
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【解題思路】利用變數變換 $x = e^t$ 將柯西-尤拉方程式轉換為常係數線性常微分方程式，再分別求解齊次解與特解。 【詳解】 已知：方程式 $y'' - \frac{4}{x}y' + \frac{4}{x^2}y = x^2 + 1$ (對於 $x>0$)
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