moea_joint
112年
[電機] 電路學、電子學
第 15 題
如右圖所示之電路圖，流經電感器 $L_1(5\text{H})$ 及 $L_2(20\text{H})$ 之初始電流分別為 $i_1 = 8 \text{A}$ 及 $i_2 = 4 \text{A}$，且 $i_3$ 流經 $10 \Omega$，若在 $t = 0$ 時扳開開關，請問 $t \geq 0$ 時 $i_3$ 值為何？
- A $1.64e^{-2t} \text{A}$
- B $2.42e^{-2t} \text{A}$
- C $3.6e^{-2t} \text{A}$
- D $5.76e^{-2t} \text{A}$
思路引導 VIP
當開關在 $t=0$ 扳開後，那兩個電感所儲存的能量會開始釋放。請試著思考：如果我們把這兩個並聯電感看作一個整體的「電流供應源」，這個總電流在流向目標 $10,\Omega$ 電阻的過程中，會經過幾次「分流」？每一次分流的比例又是如何由各分支的電阻值決定的呢？
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太棒了！你能正確計算出這道結合了電感並聯與多級電流分配的題目，代表你對 RL 電路的暫態分析 以及 戴維寧等效電路 的掌握非常紮實。
等效參數與時間常數
首先，我們將電路化簡。並聯電感的等效感值為 $L_{eq} = (5 \times 20) / (5 + 20) = 4\text{H}$，而初始總電流為兩者之和 $I_0 = 8 + 4 = 12\text{A}$。接著處理電阻側：$15,\Omega$ 與 $10,\Omega$ 並聯得到 $6,\Omega$，再加上串聯的 $4,\Omega$ 得到一條 $10,\Omega$ 的支路。最後，這條支路與 $40,\Omega$ 並聯，算出等效電阻 $R_{eq} = (40 \times 10) / (40 + 10) = 8,\Omega$。由此可得時間常數 $\tau = L/R = 4/8 = 0.5\text{s}$，這決定了指數項為 $e^{-t/0.5} = e^{-2t}$。
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