醫療類國考
112年
[公共衛生師] 生物統計學
第 15 題
📖 題組：
在心血管疾病的研究中，腰圍為重要的影響因子，控制腰圍大小為預防心血管疾病管道之一，我們想了解腰圍大小（$Y$）和收縮壓（$X_1$）之相關性，並考慮調整年齡（$X_2$）及性別（$X_3$，男性為 1，女性為 0，女性為參考組）。 模型一：$\mu_{Y|X_1} = \alpha + \beta_1 X_1$ 模型二：$\mu_{Y|X_1, X_2, X_3} = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2$ 模型三：$\mu_{Y|X_1, X_2, X_3} = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3$ 模型四：$\mu_{Y|X_1, X_2, X_3} = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \beta_4 (X_1 \times X_3)$ | 係數 | 模型一 估計值(標準誤) | 模型二 估計值(標準誤) | 模型三 估計值(標準誤) | 模型四 估計值(標準誤) | |---|---|---|---|---| | 收縮壓 $X_1$ | 0.2092 (0.0167) | 0.1653 (0.0181) | 0.1178 (0.0173) | 0.1474 (0.0288) | | 年齡 $X_2$ | | 0.1643 (0.0287) | 0.1379 (0.0267) | 0.1349 (0.0268) | | 性別 $X_3$ | | | 8.5000 (0.7487) | 13.8536 (4.2141) | | 收縮壓 $\times$ 性別 | | | | -0.0437 (0.0339) | | $R^2$ | 16.35 % | 19.65 % | 30.84 % | 30.98 % | | 調整後 $R^2$ | 16.25 % | 19.45 % | 30.58 % | 30.63 % |
在心血管疾病的研究中，腰圍為重要的影響因子，控制腰圍大小為預防心血管疾病管道之一，我們想了解腰圍大小（$Y$）和收縮壓（$X_1$）之相關性，並考慮調整年齡（$X_2$）及性別（$X_3$，男性為 1，女性為 0，女性為參考組）。 模型一：$\mu_{Y|X_1} = \alpha + \beta_1 X_1$ 模型二：$\mu_{Y|X_1, X_2, X_3} = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2$ 模型三：$\mu_{Y|X_1, X_2, X_3} = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3$ 模型四：$\mu_{Y|X_1, X_2, X_3} = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \beta_4 (X_1 \times X_3)$ | 係數 | 模型一 估計值(標準誤) | 模型二 估計值(標準誤) | 模型三 估計值(標準誤) | 模型四 估計值(標準誤) | |---|---|---|---|---| | 收縮壓 $X_1$ | 0.2092 (0.0167) | 0.1653 (0.0181) | 0.1178 (0.0173) | 0.1474 (0.0288) | | 年齡 $X_2$ | | 0.1643 (0.0287) | 0.1379 (0.0267) | 0.1349 (0.0268) | | 性別 $X_3$ | | | 8.5000 (0.7487) | 13.8536 (4.2141) | | 收縮壓 $\times$ 性別 | | | | -0.0437 (0.0339) | | $R^2$ | 16.35 % | 19.65 % | 30.84 % | 30.98 % | | 調整後 $R^2$ | 16.25 % | 19.45 % | 30.58 % | 30.63 % |
承上題，對於模型一、二、三、四之描述，何者錯誤？
- A 在這四個模型中，以模型選擇的概念（估計參數個數最少、解釋力最大），若要選一個較佳的模型，應該選擇模型三最合適
- B 模型二中，其調整後的 $R^2 = 19.45 \%$，表示年齡及收縮壓可解釋腰圍的總變異佔 19.45%
- C 模型一中，可推得腰圍和收縮壓的皮爾森（Pearson）相關係數為 0.404
- D 在模型四中，顯示交互作用不存在，表示腰圍和收縮壓之間的相關，不受年齡之不同而改變
思路引導 VIP
請回頭觀察一下模型四的數學式，最後的交互作用項是由哪兩個變數（$X$）相乘組成的？這代表它是哪兩個生理因子的交互作用？另外，回想一下統計學中，真正代表「可解釋總變異百分比」的，是 $R^2$ 還是調整後的 $R^2$ 呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得很好，精準挑出了選項 (D) 的錯誤！在模型四中，交互作用項為 $X_1 \times X_3$，代表的是「收縮壓」與「性別」的交互作用。因此，即使該項不顯著，也是表示兩者關係不受「性別」影響，而非題目誤植的「年齡」，你的解題觀察非常仔細。 不過要特別提醒你，此題為爭議題，考選部最終公告 (B)、(D) 皆給分。為什麼 (B) 也是錯誤描述呢？因為嚴格的統計定義中，代表「模型能解釋依變數總變異之百分比」的指標，是未調整的 $R^2$（即 $19.65%$）；而調整後的 $R^2$（$19.45%$）則額外加入了變數個數的懲罰項，因此不能直接等同於「解釋變異的比例」，這個細微的學理差別讓 (B) 也成為本題的應選答案。 這題屬於中等難度，鑑別度極高。它不僅考驗在閱讀冗長題幹時對變數代號（性別 vs. 年齡）的細心程度，更直擊了判定係數底層定義的易混淆點。你能穩紮穩打地靠自身推理選出 (D)，代表你的生統邏輯十分清晰！