高考申論題
113年
[化學工程] 反應工程及單元操作
第 一 題
📖 題組：
如圖三所示流體在平板上流動形成邊界層厚度（boundary layer）分析。選用 von Karman 積分式，τ0/ρ = d/dx ∫(0 to δ) vx(v∞ − vx)dy，描述邊界層厚度（δ），τ0為平板表面的剪應力，ρ為流體密度。
如圖三所示流體在平板上流動形成邊界層厚度（boundary layer）分析。選用 von Karman 積分式，τ0/ρ = d/dx ∫(0 to δ) vx(v∞ − vx)dy，描述邊界層厚度（δ），τ0為平板表面的剪應力，ρ為流體密度。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
假設層流（laminar）邊界層區內速度分布為，vx / v∞ = (3/2)(y/δ) − (1/2)(y/δ)^3，試推導出在 x = L 位置的邊界層厚度（δ）關係式。（10 分）
思路引導 VIP
看到此題，應先聯想到這是一個典型的邊界層動量積分求解問題。解題兩大關鍵：一是利用牛頓黏性定律搭配速度分布求出壁面剪應力（τ0）；二是利用變數變換（令 η = y/δ）完成積分式內的代數積分。最後將兩者等號成立，解出一階可分離變數微分方程式即可求得 δ 隨 x 變化的關係式。
小題 (二)
若紊流（turbulent）邊界層區拖曳係數（drag coefficient, CD）表示成，CD = 0.072(NRe,L)^(-1/5)，NRe,L為在 x = L 位置的 Reynolds number，試寫出紊流邊界層區內可能速度分布。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗平板紊流邊界層的經典經驗公式。看到拖曳係數（CD）與雷諾數呈現 -1/5 次方的經驗關係，應立即聯想到流體力學中著名的「Prandtl 1/7 次方定律」。由於配分僅 5 分，作答時直接寫出該速度分布的冪次關係式，並明確標示各物理變數的定義即可精準拿分。