第 一 題

【解題關鍵】掌握三維應力張量（Stress Tensor）的矩陣排列形式與應力對稱性（$\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$）。 【解答】 Step 1：寫出 3x3 應力張量矩陣的一般形式

【解題思路】利用柯西應力張量（Cauchy Stress Tensor）建立對稱矩陣，並透過求解特徵方程式 $\det(\mathbf{\sigma} - \lambda \mathbf{I}) = 0$ 來計算矩陣的特徵值，該特徵值即為物理上的主應力。 【詳解】 已知：三維座標系中，應力張量為對稱矩陣（$\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$）。

【解題思路】利用線性代數中的特徵值分解法，求出應力張量的特徵值（主應力）與正規化特徵向量，進而構建方向餘弦矩陣（正交旋轉矩陣）。 【詳解】 已知：應力張量（Stress Tensor）以矩陣形式表示為 $T = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{zx} \ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \ \sigma_{zx} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}$。