高考申論題
113年
[機械工程] 流體力學與工程力學
第 一 題
📖 題組：
今有一金屬球因重力作用在一黏性流體中以等速沉降。假設該球之沉降速度 V 較低，使得其運動方程式中之慣性力遠小於黏性力，故 V 只受流體之動力黏滯係數（dynamic viscosity），以及金屬球之直徑 D 和單位體積淨受力（b l）g 影響。前式中b與l分別為金屬球和流體之質量密度，g 為重力加速度。
今有一金屬球因重力作用在一黏性流體中以等速沉降。假設該球之沉降速度 V 較低，使得其運動方程式中之慣性力遠小於黏性力，故 V 只受流體之動力黏滯係數（dynamic viscosity），以及金屬球之直徑 D 和單位體積淨受力（b l）g 影響。前式中b與l分別為金屬球和流體之質量密度，g 為重力加速度。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
利用因次分析（dimensional analysis），試求沉降速度 V 與前述各參數 [亦即 D (b l)g]之關係式。（15 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是流體力學中的「因次分析（Dimensional Analysis）」基本題型。考點在於利用柏金漢 π 定理（Buckingham Pi theorem）或雷利法（Rayleigh method）來推導物理量間的關係。解題步驟應為：1. 列出所有相關變數及其因次（以 M, L, T 系統表示）；2. 建立數學關係式（例如 V = C · μ^a · D^b · [(ρb - ρl)g]^c）；3. 依據等式兩邊因次必須相同的原則，列出聯立方程式求解未知數 a, b, c；4. 寫出最終關係式。建議分配 10 分鐘，務必確保每個參數的因次寫對。
小題 (二)
設若一鐵球之比重（specific gravity）為 7.9，直徑為 0.3 cm，且在某一比重為 1.5 之流體中以某速度等速沉降。今若將鐵球換成比重 2.7 之鋁球，且欲使鋁球在相同流體中之沉降速度與原鐵球相同，試求鋁球應有之直徑。（5 分）
思路引導 VIP
這題是接續第 (一) 小題的應用計算。關鍵點在於「沉降速度相同」以及「相同流體」。這代表在剛剛推導出的公式中，V、μ、g 都是常數，無因次常數 k 也是常數。因此，可以將公式改寫為比例關係，找出球直徑 D 與比重差的關係。步驟：1. 建立等式 V_iron = V_aluminum；2. 將已知數據（鐵比重、鋁比重、流體比重、鐵球直徑）代入；3. 解出鋁球直徑 D_aluminum。此題計算單純，不需花費過多時間，但要注意單位的一致性（本題可直接用 cm 計算）。