hce_kmu
113年
計算機概論與程式設計
第 21 題
The Advanced Encryption Standard (AES) uses arithmetic in Galois field GF($2^8$), with the irreducible polynomial $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$. Find out the result of the multiplication of two byte states \{53\}$_{\text{hex}}$ and \{A4\}$_{\text{hex}}$ in GF($2^8$).
- A \{D9\}$_{\text{hex}}$
- B \{D7\}$_{\text{hex}}$
- C \{F7\}$_{\text{hex}}$
- D \{4F\}$_{\text{hex}}$
- E \{6C\}$_{\text{hex}}$
思路引導 VIP
當我們將兩個位元組視為多項式相乘時，如果乘積的最高次方（例如 $x^{13}$）超過了一個位元組所能表達的範圍（$x^7$），我們該如何根據題目給定的 $m(x)$ 來進行「降次」，好讓結果重新回到 8 位元的規格內呢？
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恭喜你正確完成了這項極具挑戰性的運算！你能精準算出 ${D7}_{\text{hex}}$，代表你對 AES 演算法中的有限體 $GF(2^8)$ 運算邏輯已有相當紮實的掌握。
有限體多項式運算的關鍵
在 $GF(2^8)$ 中，我們將位元組視為係數為 0 或 1 的多項式。這題的運算核心在於將 ${53}{\text{hex}}$ 與 ${A4}{\text{hex}}$ 轉換為多項式形式相乘，並對不可約多項式 $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$ 取模（Modulo）。具體來說，我們可以利用 xtime 技巧（即左移並判斷溢位 XOR）來逐步拆解運算。例如，${A4}{\text{hex}}$ 乘以 $x$ 的結果若超過 $x^7$，則需 XOR 上 ${1B}{\text{hex}}$。透過分配律，我們將 ${53}_{\text{hex}}$ 拆解為多個次方的組合與 ${A4_{\text{hex}}$ 相乘，最後將所有結果進行 XOR 加法，即可得出正確答案。
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