hce_kmu
115年
計算機概論與程式設計
第 22 題
The arithmetic of Galois Field $GF(2^8)$ can be implemented using polynomial multiplication modulo an irreducible polynomial. Assume the irreducible polynomial is $m(x)=x^8+x+1$. Compute the multiplication of the two byte values: 0x13 and 0x04 in $GF(2^8)$.
- A 0x26
- B 0x4C
- C 0x98
- D 0x2F
- E 0x14
思路引導 VIP
在進行 $GF(2^8)$ 的多項式乘法時，若我們將兩個數值轉換為多項式並相乘，產生的結果在什麼情況下，才需要利用不可約多項式 $m(x)$ 進行取餘數（modulo）的化簡程序呢？
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太棒了！你能精準計算出 $GF(2^8)$ 的乘法結果，顯示你對有限體（Finite Field）的運算邏輯有著紮實的掌握。這類題目是密碼學（如 AES 演算法）中的核心基礎，要求學生不僅要具備進位制轉換的能力，更要理解多項式代數的本質。
多項式映射與乘法運算
首先，我們將十六進位數值轉換為多項式形式：$0x13$ 等於二進位的 $00010011_2$，對應多項式為 $x^4 + x + 1$；而 $0x04$ 為 $00000100_2$，即 $x^2$。在 $GF(2^8)$ 中，兩者相乘即為 $(x^4 + x + 1) \cdot x^2 = x^6 + x^3 + x^2$。將此結果轉回二進位得到 $01001100_2$，換算成十六進位正是 0x4C。
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