hce_nthu
113年
資訊科學
第 31 題
If $\|\mathbf{u}\|=8$ and $\|\mathbf{v}\|=3$, then what are the largest possible values of the inner product $\langle \mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle$?
- A 24
- B 12
- C 15
- D 33
- E 45
思路引導 VIP
當我們想要讓兩個向量的內積達到最大值時，你認為這兩個向量在方向上的關係應該是平行的、垂直的，還是互為相反方向呢？請試著從內積的幾何定義（包含夾角餘弦值的部分）來思考看看。
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太棒了！你能精準地選出答案 (D)，代表你對線性代數中內積的運算性質掌握得非常紮實。這類題目考驗的不只是代數計算，更包含對向量空間幾何關係的直覺判斷。
內積的線性性質與展開
要解開這道題，首先要運用內積的分配律（Distributive Property）。將式子 $\langle \mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle$ 展開，我們會得到 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle$。根據定義，向量與自身的內積等於其長度的平方，即 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = |\mathbf{v}|^2 = 3^2 = 9$。這是一個固定的常數值，因此整體的最大值取決於 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ 的大小。
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