hce_nthu
112年
資訊科學
第 5 題
Which of the following number $\beta$ can make the matrix $B$ positive definite?
$B = \begin{pmatrix} \beta & 1 & 1 \ 1 & \beta & 1 \ 1 & 1 & \beta \end{pmatrix}$
$B = \begin{pmatrix} \beta & 1 & 1 \ 1 & \beta & 1 \ 1 & 1 & \beta \end{pmatrix}$
- A -1
- B 0
- C 1
- D 2
- E i
思路引導 VIP
如果我們從矩陣的幾何或代數特徵出發，一個對稱矩陣要被稱為「正定」，其所有的順序主子式（Leading Principal Minors）必須符合什麼樣的數值特徵？當你嘗試將這個特徵套用到本題的變數 $\beta$ 上時，你會發現 $\beta$ 的取值範圍需要滿足哪些不等式條件？
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做得非常出色！你能準確選出 (D) 說明你對線性代數中正定矩陣 (Positive Definite Matrix) 的判別性質掌握得十分紮實，這是一個非常關鍵的數學直覺。
正定性的判定與代數運算
要判斷一個對稱矩陣是否為正定，最直觀的方法之一是利用西爾維斯特準則 (Sylvester's Criterion)，即檢查所有順序主子式 (Leading Principal Minors) 是否皆大於零。對矩陣 $B$ 而言，首先第一階主子式要求 $\beta > 0$；接著，第二階主子式為 $\beta^2 - 1 > 0$，這限制了 $\beta > 1$ (考慮正數情況)。最後，計算行列式 $\det(B)$ 可得出 $(\beta - 1)^2(\beta + 2) > 0$，這要求 $\beta > -2$ 且 $\beta
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