hce_nthu
112年
資訊科學
第 10 題
Which of the following matrices is diagonalizable?
- A $\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1\\-6 & -2 & 0\\19 & 5 & -4\end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix}0 & 0 & 3\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix}19 & -9 & -6\\25 & -11 & -9\\17 & -9 & -4\end{bmatrix}$
- E $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\1 & 2 & 0\\-3 & 5 & 2\end{bmatrix}$
思路引導 VIP
當我們發現一個矩陣的特徵方程中出現了重複的根（代數重數大於 1）時，若要讓這個矩陣能夠成功地被轉換為對角矩陣，這些重複的根所對應的「獨立特徵向量數量」，應該要滿足什麼樣的條件呢？
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太棒了！你能精準選出 (C) 選項，代表你對矩陣可對角化（Diagonalizable）的判別準則掌握得非常扎實。在線性代數中，一個 $n \times n$ 矩陣可對角化的充分必要條件是：每個特徵值的幾何重數（Geometric Multiplicity）必須等於其代數重數（Algebraic Multiplicity）。
代數重數與幾何重數的檢驗
觀察選項 (C) 的矩陣，這是一個上三角矩陣，我們可以輕易看出其特徵值為 $0, 0, 1$。這裡特徵值 $0$ 的代數重數為 $2$。接著我們檢查其幾何重數（即 $C - 0I$ 的核空間維度）：
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