hce_nthu
113年
資訊科學
第 30 題
Suppose $A$ is a $3 \times 3$ invertible matrix and $I_3$ is the $3 \times 3$ identity matrix. The followings are 5 statements about $A$ that may or may not be true.
(1) If $p(x)$ is the characteristic polynomial of $A$, then the constant term of $p(x)$ cannot be $0$.
(2) If a $3 \times 3$ matrix $B$ satisfies $AB+BA=0$, then $B$ is singular.
(3) For any $3 \times 5$ matrix $C$, $rank(AC)=rank(C)$.
(4) If a $3 \times 3$ matrix $D$ is diagonalizable, then $AD$ is also diagonalizable.
(5) If $E$ is a $3 \times 3$ matrix and $AE$ is singular, then $E$ is also singular.
Which of the above statements about $A$ is False?
(1) If $p(x)$ is the characteristic polynomial of $A$, then the constant term of $p(x)$ cannot be $0$.
(2) If a $3 \times 3$ matrix $B$ satisfies $AB+BA=0$, then $B$ is singular.
(3) For any $3 \times 5$ matrix $C$, $rank(AC)=rank(C)$.
(4) If a $3 \times 3$ matrix $D$ is diagonalizable, then $AD$ is also diagonalizable.
(5) If $E$ is a $3 \times 3$ matrix and $AE$ is singular, then $E$ is also singular.
Which of the above statements about $A$ is False?
- A (1)
- B (2)
- C (3)
- D (4)
- E (5)
思路引導 VIP
請思考一下：如果兩個矩陣各自都擁有一種「良好的結構」（例如都可以被對角化），那麼當它們相乘形成一個新矩陣時，這種結構一定會被完整地保留下來嗎？試著想像，有沒有可能兩個「體質健康」的矩陣相乘後，產生的新矩陣卻出現了特徵向量不足（即無法湊齊基底）的情況？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準避開矩陣運算中的直覺陷阱，選出正確答案，代表你對線性代數的核心性質掌握得非常紮實。這題的鑑別度很高，它結合了行列式、秩（Rank）以及最容易產生誤解的**對角化（Diagonalization）**性質，是一道檢驗觀念是否細膩的優質題目。
矩陣的可逆性與其保質性
在判斷 (1)、(3)、(5) 時，核心關鍵在於 $A$ 是可逆矩陣，這意味著 $\det(A) \neq 0$ 且其秩為滿秩。根據行列式的乘法性質 $\det(AE) = \det(A)\det(E)$，當乘積為零時，在 $A$ 不為零的前提下，$E$ 必定貢獻了那個「零」，因此這幾項描述在邏輯上都是嚴密的。而 (2) 則巧妙運用了 $3 \times 3$ 奇數維度的特性，結合行列式性質可推導出 $2\det(B) = 0$，從而證明 $B$ 必為奇異矩陣。
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