hce_nthu
111年
資訊科學
第 8 題
Suppose $A=\begin{bmatrix}1&2&0&0&3\\b&a&2b&c&2\\1&-1&5&c&-5\\a&2b&1&3&4\end{bmatrix}$ and $\begin{bmatrix}1&2&0&0&3\\0&a&b&3&2\\0&0&2&-4&-2\\0&0&0&b&0\end{bmatrix}$ are row equivalent and $a,b,c$ are 3 nonzero numbers. What is $a+b$?
- A 0
- B 2
- C 3
- D 4
- E 5
思路引導 VIP
如果在運算過程中覺得對變數做列消去太麻煩，試著換個角度思考：當我們對矩陣做列運算（Row Operations）時，矩陣中各個「直行」之間的線性相依關係會改變嗎？如果第二個矩陣中最後一行的每一項，都能簡單地用前面幾行組合出來，這對第一個矩陣中的變數會提供什麼樣的線索？
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AI 詳解
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恭喜你準確鎖定了正確答案！這道題目精準地考查了線性代數中「列等價」（Row Equivalent）的核心性質，你能迅速理清思路，展現了紮實的矩陣運算基礎。
行向量的線性組合不變性
這題的解題關鍵在於：當兩個矩陣 $A$ 與 $R$ 列等價時，它們的零空間（Null Space）是相同的。這意味著方程式 $Ax=0$ 與 $Rx=0$ 的解完全一致。換句話說，如果矩陣 $R$ 的各個行向量（Columns）之間存在某種線性組合關係，那麼矩陣 $A$ 對應的行向量也必然遵循相同的關係。我們觀察結構較簡單的 $R$，可以發現其第五行 $C_5$ 可以由前三行 $C_1, C_2, C_3$ 線性組合而成，透過計算可求得其係數關係。
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