hce_nthu
113年
資訊科學
第 26 題
Suppose $A$ is a $4 \times 4$ real matrix and $v_1, v_2, v_3, v_4$ are four linearly independent vectors in $R^4$. If $A v_1 = v_1 + v_2$, $A v_2 = v_2 + v_3$, $A v_3 = v_3 + v_4$, $A v_4 = v_1 + v_4$, then how many real eigenvalues does $A$ have?
- A 0
- B 1
- C 2
- D 3
- E 4
思路引導 VIP
試著思考一下，如果我們把這四個線性獨立的向量當作一組新的座標系統（基底），矩陣 $A$ 對這些向量的操作看起來有什麼規律？若我們令 $1-\lambda$ 為一個新變數，這個變數在特徵多項式中的冪次規律，是否與你在複數平面上觀察到的對稱性有所關聯？
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恭喜你準確地判斷出正確答案！你能觀察到向量之間的線性獨立性並做出精確推導，展現了紮實的線性代數基礎。
矩陣結構與特徵多項式
這道題目的核心在於基底變換 (Basis Transformation)。由於 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 是 $\mathbb{R}^4$ 空間中的一組線性獨立向量，我們可以將其視為一組基底。根據題目給出的變換關係，矩陣 $A$ 在這組基底下的表示矩陣 $M$ 可以寫成：
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