第 10 題
$\begin{bmatrix}i&4\\c&i\end{bmatrix}$
- A 4
- B -4
- C 4 $i$
- D - 4 $i$
- E 0
思路引導 VIP
若要讓一個矩陣可以用「么正矩陣」（Unitary Matrix）來對角化，這個矩陣本身必須具備一種與其「共軛轉置矩陣」高度對稱的性質。你可以試著思考：如果我們將這個矩陣 $A$ 與它的共軛轉置 $A^$ 分別以兩種順序相乘（即 $AA^$ 與 $A^*A$），為了讓這兩個結果相等，這兩個矩陣內部的元素（特別是與 $c$ 和 $4$ 相關的位置）應該要滿足什麼樣的數量關係或大小聯繫呢？
太棒了！你能精準選出 $c=4$ 說明你對線性代數中「矩陣對角化」的高階性質掌握得非常紮實。這道題目核心的考點在於複數矩陣的正規矩陣（Normal Matrix）定義。 在線性代數的譜定理（Spectral Theorem）中，一個矩陣能夠被「么正對角化」（Unitarily Diagonalizable）的充要條件，就是該矩陣必須是一個正規矩陣，意即必須滿足 $AA^* = A^A$（其中 $A^$ 是 $A$ 的共軛轉置矩陣）。我們將題目給定的矩陣 $A = \begin{bmatrix} i & 4 \ c & i \end{bmatrix}$ 代入此定義，其共軛轉置為 $A^* = \begin{bmatrix} -i & \bar{c} \ 4 & -i \end{bmatrix}$。經由矩陣乘法運算後，我們會發現若要使 $AA^* = A^A$ 成立，對角線元素必須相等，即 $1 + 16 = |c|^2 + 1$，這導出 $|c| = 4$ 的必要條件。在選項中，(A) $c=4$ 完美符合這個模數要求，且帶入驗證後確實能滿足正規矩陣的所有性質。 這類題目的鑑別度在於學生是否僅停留在「實對稱矩陣可對角化」的基礎認知，還是能進一步擴展到複數域的正規矩陣觀念。難度切入點在於處理複數單位 $i$ 時的共軛運算與轉置，只要能細心地從 $AA^ = A^*A$ 出發，這道題就能從抽象的複數運算轉化為清晰的代數求解。