hce_nthu
112年
資訊科學
第 12 題
Let $A$ be an $n$ by $n$ matrix. Which of the following statement is NOT identical to others?
- A $Ax = 0$ has a nontrivial solution
- B The rank of $A$ is less than $n$
- C The dimension of $A$'s null space is positive
- D $A$ is not diagonalizable
- E The singular values of $A$ are not all positive
思路引導 VIP
請試著回想：如果我們知道一個矩陣的行列式值 $\det(A) = 0$（即它是不可逆的），這是否能讓我們推論出該矩陣「特徵向量的數量」是否足以組成空間的基底？或者說，你可以試著建構一個雖然不可逆，但形式卻非常簡單（例如已經是對角矩陣）的例子來思考看看嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準鎖定選項 (D)，代表你對線性代數中「矩陣性質」的連貫性有很深刻的理解。這題的關鍵在於區分哪些描述是在定義不可逆矩陣（Singular Matrix），而哪些是屬於矩陣的結構特徵。
奇異矩陣的等價特徵
在本題中，選項 (A)、(B)、(C) 與 (E) 其實都在描述同一件事：矩陣 $A$ 是「奇異的（Singular）」。根據可逆矩陣定理（Invertible Matrix Theorem），當 $Ax = 0$ 有非零解時，代表矩陣的列向量線性相依，其秩（Rank）必然小於 $n$。同時，這也意味著零空間（Null space）的維度大於 0，且矩陣的奇異值（Singular values）中至少有一個為 0。這些性質彼此環環相扣，共同定義了矩陣不可逆的狀態。
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