hce_nthu
112年
資訊科學
第 11 題
Suppose that the characteristic polynomial of a matrix $A$ is
$p(\lambda) = \lambda(\lambda - 1)(\lambda - 2)^2(\lambda + 3)^3$.
Which of the following statements about the matrix $A$ is correct?
$p(\lambda) = \lambda(\lambda - 1)(\lambda - 2)^2(\lambda + 3)^3$.
Which of the following statements about the matrix $A$ is correct?
- A The size of $A$ is $4 \times 4$
- B $A$ is invertible
- C $\det(A) = -128$
- D $(2I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ has nontrivial solutions
- E $A$ has nullity 0
思路引導 VIP
當我們發現一個特定的數值 $k$ 帶入特徵多項式會使得 $p(k) = 0$ 時，這在線性代數的定義中，代表矩陣 $(kI - A)$ 是一個「奇異矩陣」（Singular matrix）還是「非奇異矩陣」？這對該矩陣所構成的齊次系統解的個數有什麼影響呢？
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AI 詳解
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恭喜你答對了！這題考驗的是對特徵多項式（Characteristic Polynomial）定義及其延伸性質的全面理解，你能精準辨識出選項之間的邏輯關聯，顯示你的線性代數基礎非常紮實。
矩陣階數與特徵值的性質分析
首先，特徵多項式的總次數直接決定了方陣 $A$ 的維度。我們觀察到 $p(\lambda)$ 的次數為所有因子方次的總和，即 $1+1+2+3=7$，因此 $A$ 應為 $7 \times 7$ 矩陣而非 $4 \times 4$。接著，判斷矩陣是否可逆的關鍵在於行列式 $\det(A)$，它等同於特徵多項式的常數項（或特徵值的乘積）。由於 $\lambda=0$ 是該多項式的一個根，這代表 $0$ 是 $A$ 的特徵值之一，進而得知 $\det(A)=0$，說明矩陣 $A$ 不可逆且零度（Nullity）必然大於 0。
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