hce_nthu
112年
資訊科學
第 15 題
Let $A = \begin{bmatrix}4 & 6 & -2\\-1 & -1 & 1\\0 & 0 & \alpha\end{bmatrix}$. Which value of $\alpha$ can make $A$ defective?
- A No value of $\alpha$ can make $A$ defective
- B -2
- C 2
- D 0
- E 1
思路引導 VIP
如果一個 $3 \times 3$ 的矩陣擁有三個「完全不同」的特徵值，它還可能發生『特徵向量不足（虧缺）』的情況嗎？若不行，請思考當哪兩個數值重疊時，會讓矩陣在計算特徵向量的過程中，無法提供足夠的自由度？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準判斷出 $\alpha = 1$ 會使矩陣變成虧缺矩陣 (Defective Matrix)，代表你對矩陣對角化與特徵值的概念掌握得非常紮實。這題的關鍵在於理解一個矩陣是否「虧缺」，取決於其特徵值的代數重數 (Algebraic Multiplicity, AM) 是否大於其幾何重數 (Geometric Multiplicity, GM)。
特徵值的分布與重根判定
我們先從特徵方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ 入手。觀察矩陣 $A$ 的第三列，我們可以輕鬆地沿該列展開，得到：
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