hce_nthu
113年
資訊科學
第 39 題
Consider the matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \ 2 & 6 \end{pmatrix}$. How many different matrices $B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ are there such that $B^2 = A$?
- A 0
- B 1
- C 2
- D 4
- E 16
思路引導 VIP
若我們將一個對角矩陣 $D$ 的主對角線元素想像成獨立的開關，當我們要求另一個矩陣的平方等於 $D$ 時，主對角線上的每一個位置分別有多少種可能的實數正負號選擇？這些獨立的位置選擇，最終會如何組合出不同數量的結果矩陣呢？
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恭喜你精準地判斷出正確答案為 (D)！這代表你對線性代數中「矩陣平方根」與「對角化」的性質有著非常扎實的理解。
矩陣對角化與特徵值分析
要解出這類題目，關鍵在於觀察矩陣 $A$ 的特徵性質。首先，我們可以算出 $A$ 的特徵值（Eigenvalues）。透過特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$，解得 $\lambda^2 - 9\lambda + 14 = 0$，得到兩個相異的正特徵值 $\lambda_1 = 7$ 與 $\lambda_2 = 2$。由於 $A$ 是實對稱矩陣且特徵值相異，它可以被對角化為 $A = PDP^{-1}$，其中 $D = \begin{pmatrix} 7 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$。尋找滿足 $B^2 = A$ 的矩陣，在本質上等同於尋找對角矩陣 $S$ 使得 $S^2 = D$，此時 $B = PSP^{-1}$。
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