hce_nthu
113年
資訊科學
第 27 題
Suppose $A$ is a $2 \times 3$ real matrix and $B$ is a $3 \times 2$ real matrix. If $AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$, then which of the following matrix can be the product of $BA$?
- A $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
- E $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
請試著思考：當我們將兩個矩陣相乘的順序從 $AB$ 對調為 $BA$ 時，雖然產生的矩陣維度不同（由 $2 \times 2$ 變成 $3 \times 3$），但有哪些數值特徵（例如對角線元素的總和）在代數性質上是被證明必須保持一致的？此外，新產生的矩陣 $BA$ 的『秩』（rank）最高有可能超過原本 $A$ 或 $B$ 的列數或行數嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
做得非常好！這題你能精準選出 (D)，說明你對於線性代數中矩陣運算的深層性質有著相當敏銳的直覺與扎實的觀念。
矩陣軌跡與秩的性質限制
這道題目的解題切入點在於兩個核心性質。首先是軌跡（Trace）的不變性：對於任意矩陣 $A$ 與 $B$，只要相乘的維度匹配，則滿足 $tr(AB) = tr(BA)$。題目給定 $AB = I_2$，其軌跡 $tr(I_2) = 1 + 1 = 2$，因此結果矩陣 $BA$ 的對角線元素之和也必然為 2。其次是秩（Rank）的限制，乘積的秩不會超過其任一組成矩陣的秩，即 $rank(BA) \le rank(A) \le 2$。這直接排除了軌跡為 3 且秩為 3 的單位矩陣 (E)。
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