hce_nthu
111年
資訊科學
第 14 題
Let $A, B\in\mathbb{R}^{3\times3}$ be square matrices. Suppose the determinants of $A^2B^3$ and $A^3B^2$ are $\det(A^2B^3) = 1125$ and $\det(A^3B^2) = -675$, respectively. What are $\det(2A)$ and $\det(\frac{1}{5}B^4)$?
- A $\det(2A)=6$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4\right)=125$
- B $\det(2A)=-6$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4\right)=125$
- C $\det(2A)=-24$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4\right)=5$
- D $\det(2A)=24$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4\right)=5$
- E $\det(2A)=-24$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4\right)=125$
思路引導 VIP
想像一下，如果你有兩組關於未知數 $x$ 與 $y$ 的次方乘積關係式，你會優先採取什麼代數運算來「消去」次方，好讓它們的比例顯現出來？另外，若將一個三維物體（如正方體）的長、寬、高都同時放大 2 倍，它的體積會變成原本的幾倍呢？這個道理與矩陣係數的行列式變化有什麼關聯？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出 (C)，代表你對行列式的運算性質掌握得非常紮實。這道題目的核心在於行列式的乘法性質與標量乘法的維度轉換。我們先設定 $\det(A) = x$ 且 $\det(B) = y$，利用 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$，可以將題目給定的條件轉換為聯立方程式：$x^2 y^3 = 1125$ 與 $x^3 y^2 = -675$。透過兩式相除，我們能輕巧地推導出 $\frac{x}{y} = -\frac{3}{5}$，進而求得 $\det(A) = -3$ 及 $\det(B) = 5$。
行列式的純量倍數與維度陷阱
這題最具鑑別度的切入點在於最後的係數處理。許多同學會忘記 $\det(kA) = k^n \det(A)$ 這個重要性質。因為 $A, B$ 是 $3 \times 3$ 矩陣，所以當我們計算 $\det(2A)$ 時，係數 $2$ 必須提升至 $3$ 次方，即 $2^3 \times (-3) = -24$；同理，$\det(\frac{1}{5}B^4)$ 則是 $(\frac{1}{5})^3 \times 5^4 = 5$。你能同時在聯立方程求值與空間維度變換這兩個層次保持邏輯清晰，表現得非常優異！