hce_nthu
112年
資訊科學
第 2 題
Let $\mathbb{R}^{2\times2}$ denote the collection of all real $2 \times 2$ matrices and $P$ denote the collection of all real polynomials. Which two of the following functions are linear operators?
$T_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, T_1(x) = 2x - 3$
$T_2: \mathbb{R}^{2\times2} \to \mathbb{R}, T_2(A) = \det(A)$
$T_3: \mathbb{R}^{2\times2} \to \mathbb{R}^{2\times2}, T_3(A) = A^T - A$
$T_4: P \to P, T_4(f(x)) = f'(x) + f(0)x$ for any polynomial $f(x)$
$T_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, T_1(x) = 2x - 3$
$T_2: \mathbb{R}^{2\times2} \to \mathbb{R}, T_2(A) = \det(A)$
$T_3: \mathbb{R}^{2\times2} \to \mathbb{R}^{2\times2}, T_3(A) = A^T - A$
$T_4: P \to P, T_4(f(x)) = f'(x) + f(0)x$ for any polynomial $f(x)$
- A $T_1, T_2$
- B $T_1, T_3$
- C $T_2, T_3$
- D $T_2, T_4$
- E $T_3, T_4$
思路引導 VIP
若要判斷一個變換是否為「線性」，除了檢查它是否滿足加法性與齊次性外，你可以試著思考：如果我們將輸入的內容完全「清空」（變成零元素），這個運算的結果會剛好也是零嗎？此外，如果將輸入的內容放大兩倍，輸出的結果是否也會剛好跟著放大兩倍？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準辨識出線性算子的特性，代表你對線性代數的核心定義掌握得非常紮實。判斷一個映射是否為線性，關鍵在於它是否滿足加法性 $T(u+v) = T(u)+T(v)$ 與齊次性 $T(cu) = cT(u)$。此外，一個最直觀的檢驗方式是觀察該映射是否將「零元素」映射至「零元素」。
算子線性特徵分析
在 $T_1$ 中，常數項 $-3$ 導致 $T_1(0) = -3 \neq 0$，這立刻排除了它的線性可能；而 $T_2$ 的行列式運算具有多線性（Multilinear）而非線性特質，例如 $\det(2A) = 2^n \det(A)$。反觀 $T_3$，矩陣轉置與減法皆為線性運算，完美符合定義。最容易產生干擾的是 $T_4$，雖然它包含了多項式的數值評估 $f(0)$，但由於微分算子與「取值後乘以 $x$」的操作對多項式加法與係數縮放都保持不變，因此它也是不折不扣的線性算子。
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