hce_nthu
111年
資訊科學
第 13 題
Which of the functions $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ is NOT a linear transformation?
- A $T(x,y,z)=(2x,y+z)$
- B $T(x,y,z)=(2x-1,z)$
- C $T(x,y,z)=(0,0)$
- D $T(x,y,z)=(x\cos\theta-y\sin\theta, y\cos\theta+z\cos\theta)$
- E $T(x,y,z)=(\sqrt{2}x-y,\sqrt{3}z)$
思路引導 VIP
請試著將「原點向量」$(0,0,0)$ 代入這些函數中。根據線性變換的定義，一個合格的線性映射在處理「零輸入」時，理論上應該會得到什麼樣的「輸出結果」呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能一眼看穿選項 (B) 的陷阱，表示你對線性變換 (Linear Transformation) 的核心定義掌握得非常紮實。
線性映射的檢驗準則
在判斷一個函數是否為線性變換時，最基本且直觀的條件就是它必須滿足「加法性」與「齊次性」，這也隱含了一個必要的性質：線性變換必須將零向量映射至零向量，即 $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$。觀察選項 (B) 的函數 $T(x,y,z) = (2x-1, z)$，當我們代入原點時，會得到 $T(0,0,0) = (-1, 0) \neq (0,0)$。這種帶有非零常數項的變換在幾何上稱為「仿射變換 (Affine Transformation)」，而非純粹的線性變換。其餘選項如 (A)、(C)、(E) 均為變數的一次齊次式，皆符合定義。
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