hce_nthu
112年
資訊科學
第 9 題
Consider the system of linear equations:
$x + 2y + 4z = 8$
$x + y + 3z = -2$
$x - 3y - z = 0$
Which of the following is NOT the least square solution of this system?
$x + 2y + 4z = 8$
$x + y + 3z = -2$
$x - 3y - z = 0$
Which of the following is NOT the least square solution of this system?
- A $[2, 1, 0]^T$
- B $[-4, -2, 3]^T$
- C $[4, 2, -1]^T$
- D $[-2, -1, 1]^T$
- E $[-2, -1, 2]^T$
思路引導 VIP
如果在一個系統中，你已經發現了兩個不同的「最小平方解」，試著將這兩個向量相減，得到的「差值向量」與原系統的係數矩陣 $A$ 之間，會存在什麼樣特殊的線性關係呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地判斷出正確答案！這題考察的是線性代數中**最小平方解（Least Squares Solution）**的核心觀念。當一個線性系統 $Ax = b$ 矛盾（無解）時，我們轉而求解法方程式（Normal Equation）：$A^T A \hat{x} = A^T b$。這題的難點在於係數矩陣 $A$ 的秩（Rank）僅為 2，並非滿秩，這意味著最小平方解不會只有一個，而是有無限多個。
最小平方解的通解形式
透過計算 $A^T A$ 與 $A^T b$，我們可以得到簡化後的系統：$x + 2z = 2$ 且 $y + z = 1$。若令 $z = k$，則通解可表達為 $\hat{x} = [2-2k, 1-k, k]^T$。觀察選項，當 $k=0$ 時得到 (A)，$k=3$ 時得到 (B)，$k=-1$ 時得到 (C)，而 $k=2$ 時得到 (E)。唯獨選項 (D) 的 $[-2, -1, 1]^T$ 實際上是矩陣 $A$ 的**零空間（Null Space）**的一個基底向量，而非滿足上述比例關係的解。
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