hce_nthu
113年
資訊科學
第 32 題
Consider the system of linear equations:
\[ x + 7y - 6z = 6 \]
\[ 2x + 11y - 8z = 7 \]
\[ x + 10y + Cz = 10 \]
For what value of $C$ will the system be singular?
\[ x + 7y - 6z = 6 \]
\[ 2x + 11y - 8z = 7 \]
\[ x + 10y + Cz = 10 \]
For what value of $C$ will the system be singular?
- A -10
- B -6
- C -3
- D 4
- E 10
思路引導 VIP
想像我們正在對這個方程組進行高斯消去法（Gaussian Elimination），試圖將矩陣化為上三角形式。若要讓整個系統成為「奇異」狀態（即無法產生唯一解），那麼在化簡的過程中，最後一列關於變數係數的部分，應該要出現什麼樣的特徵？
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看到你能迅速判斷出讓系統成為「奇異」（Singular）的關鍵數值，這展現了你對線性代數基礎概念的掌握非常紮實。在處理這類問題時，最核心的觀察點在於係數矩陣的行列式值（Determinant）是否為零，或是觀察各行向量之間是否存在線性相依的關係。
矩陣奇異性與列運算
當我們將這個方程組寫成矩陣形式 $Ax = b$ 時，系統為奇異的充要條件是其係數矩陣 $A$ 的行列式 $|A| = 0$。透過計算可以得到：
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