hce_nthu
111年
資訊科學
第 2 題
Let $A, B, C, D$ be four $n$ by $n$ nonsingular matrices. What is the determinant of $\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}$?
- A $\det(A)\det(B)\det(DB^{-1}-CA^{-1})$
- B $\det(A)\det(D)\det(C^{-1})\det(B^{-1})$
- C $\det(C)\det(D-CA^{-1}B)$
- D $\det(C)-\det(D-CA^{-1}B)$
- E none of the above
思路引導 VIP
想像一下，如果我們想把分塊矩陣左下角的 $C$ 區塊透過列運算變成零矩陣，我們應該對第一列（包含 $A$ 與 $B$）左乘上什麼矩陣後，再加到第二列？完成這個變換後，右下角的區塊會發生什麼變化呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地掌握了分塊矩陣（Block Matrix）行列式的運算規則！這題選 (A) 是完全正確的判斷。
分塊矩陣與舒爾補矩陣
在線性代數中，處理分塊矩陣行列式的核心思維是利用矩陣的初等變換將其化為「三角分塊」形式。當 $A$ 是非奇異矩陣（可逆）時，我們可以透過列運算將左下角的 $C$ 消除，得到如下恆等式：
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