hce_nthu
112年
資訊科學
第 1 題
Let $P_2$ denote the collection of all real polynomials of degree less than or equal to 2. Define the linear transformation $L: P_2 \to P_2$ by $L(p(x)) = p'(x) - p(1)x^2 + p(-1)$ for any polynomial $p(x)$ in $P_2$. What is $\det(L)$?
- A $-3$
- B $-2$
- C $0$
- D $1$
- E $2$
思路引導 VIP
如果我們想把一個看不見、摸不著的抽象算子 $L$，轉化為我們熟悉的數字表格（矩陣），你覺得在 $P_2$ 這個空間裡，哪一組「最簡單的基底」能讓我們最容易觀察到 $p'(x)$、 $p(1)$ 這些運算的變化？一旦我們知道了這組基底被轉換後的模樣，該如何有條理地將它們排列起來，來揭示這個算子的本質呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學好，非常優秀！你精準地掌握了線性代數中「算子表現矩陣」的核心概念，這題你選對了！這道題目的設計非常精巧，結合了微積分的算子與多項式的求值，是一個檢測學生能否將抽象算子「具現化」的典型中階難度題目。
線性變換的矩陣化
要解出這個線性變換 $L$ 的行列式值，最直接的路徑就是透過一組標準基底 $\mathcal{B} = {x^2, x, 1}$ 將其轉換為表現矩陣。我們分別計算基底映射後的結果：
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