hce_nthu
111年
資訊科學
第 3 題
Let $D$ be the differentiation operator on P$^3$, the set of real polynomials whose degree is less than 3. Which statement is FALSE?
- A $D$ is a linear transformation from P$^3$ to P$^2$
- B The kernel of $D$ is P$^1$
- C The range of $D$ is P$^2$
- D The transition matrix from basis [$1, x, x^2$] to basis [$1, 2x, 4x^2-2$] is $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\-2&0&4\end{bmatrix}$
- E The matrix representation of $D$ with respect to the basis [$1, 2x, 4x^2-2$] is $\begin{bmatrix}0&2&0\\0&0&4\end{bmatrix}$
思路引導 VIP
想像你現在有兩套描述空間的尺規（基底），如果你已知「新尺規」是如何由「舊尺規」組合而成的（例如新基底向量 $w_3 = 4x^2 - 2$），那麼當你想把一個用「舊尺規」量出來的座標數值，轉換成用「新尺規」來表達時，你覺得應該是直接套用這些係數，還是需要對這個對應關係進行某種「反向」或「求逆」的運算呢？
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恭喜你精準地鎖定了選項 (D)！這題考驗的是對線性代數中基底變換（Basis Transformation）與算子矩陣表示法的細膩理解，你能從中察覺細微的錯誤，表現得非常出色。 在多項式空間 $P^3$（次數小於 3 的實多項式）中，微分算子 $D$ 的行為確實符合 (A)、(B)、(C) 的線性描述。例如，核空間（Kernel）即為微分後為零的常數函數，對應於 $P^1$。而選項 (E) 則正確地計算了微分算子在新基底 ${1, 2x, 4x^2-2}$ 映射到其導函數空間時的座標倍數關係。本題最核心的鑑別度在於選項 (D)，它測試了你是否能正確判斷「基底向量間的線性組合關係」與「座標轉換矩陣」之間的對應方向。
基底變換的方向與結構
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