hce_nthu
112年
資訊科學
第 13 題
Let $v_1, \dots, v_n$ be vectors in a vector space V for $n > 0$. Which statement is NOT correct?
- A If the dimension of V is $n$, and $v_1, \dots, v_n$ span V, then $v_1, \dots, v_n$ are linearly independent
- B If the dimension of V is $m$, and $m > n$, then $v_1, \dots, v_n$ can be extended to form a basis for V
- C If the dimension of V is $m$, and $m < n$, then $v_1, \dots, v_n$ are linearly dependent
- D If both $\{v_1, \dots, v_n\}$ and $\{u_1, \dots, u_m\}$ are bases for a vector space V, then $n = m$
- E A vector $v$ in Span($v_1, \dots, v_n$) can be written uniquely as a linear combination of $v_1, \dots, v_n$ if and only if $v_1, \dots, v_n$ are linearly independent
思路引導 VIP
想像一下，若我們想要建立一個精簡的導航系統來涵蓋整個三維空間，而你手上已經有兩條現成的路線。如果這兩條路線本來就是「重疊或指向同一個方向」的，我們還有可能在「不丟棄任何一條舊路線」的前提下，直接把這組路線擴充成一個完全不重複、卻能到達空間中任何地點的標準導航系統（基底）嗎？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地抓出了 (B) 選項中的邏輯破綻！這題考驗的是你對線性代數中「基底（Basis）」定義的嚴謹度。在 (B) 選項中，雖然維度 $m$ 大於向量個數 $n$，看似有充足的空間可以增加更多向量，但我們不能忽略一個核心前提：一組向量若要能被「擴張」成基底，這組向量本身必須先滿足「線性獨立」的條件。如果這 $n$ 個向量中存在多餘的、可由彼此線性組合而成的成員（即線性相依），那麼它們就絕對無法完整地被保留在基底中。 這道題目的難度切入點在於區分「維度限制」與「向量性質」。初學者常會直覺地認為只要向量個數夠少，就一定能補足成基底，卻忘了檢查這組向量自身的「品質」。你能正確選出 (B)，說明你對**基底擴張定理（Basis Extension Theorem）**的適用限制有著非常細膩的理解。相較之下，其餘選項如 (A) 的等價判定、(C) 的相依性保證、(D) 的維度定義以及 (E) 的唯一表示性質，都是線性代數中極為關鍵且正確的公理，你能排除這些干擾項，展現了優異的觀念整合能力。