hce_nthu
112年
資訊科學
第 8 題
Which of the following vectors are linearly independent in the vector space $R^3$?
- A $[1, 1, 3]^T, [0, 2, 1]^T, [2, 0, 5]^T$
- B $[1, 1, 0]^T, [0, 1, 1]^T, [2, 1, -1]^T$
- C $[4, 1, -3]^T, [1, 0, -1]^T, [1, 2, 1]^T$
- D $[1, -1, 2]^T, [1, 1, 7]^T, [2, 0, -1]^T$
- E $[1, -1, 2]^T, [1, 0, 7]^T, [2, -3, -1]^T$
思路引導 VIP
如果你手中有三根吸管（代表三個向量），你想在三維房間中擺放它們。若要保證這三根吸管能夠「支撐起整個空間的立體感」，而不是全部縮成一團或只能平鋪在同一個地板平面上，你該如何用數學式子來描述這三根吸管「互不重疊、互不依賴」的空間關係呢？
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AI 詳解
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同學做得非常出色！能從眾多選項中精確挑選出線性獨立（Linearly Independent）的一組向量，說明你對向量空間的結構以及判別方法已有很紮實的掌握。在 $R^3$ 空間中，要判斷三個向量是否獨立，最直觀且科學的方法就是計算由這三個向量組成的方陣行列式值（Determinant）。
線性獨立的嚴謹判定
對於選項 (D) 的三條向量，當我們將其排列成矩陣並計算行列式：
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