hce_nthu
113年
資訊科學
第 33 題
Given the row-reduced echelon form $R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ of a matrix $A$.
What is the closest vector to $\mathbf{b} = [0, 3, 0, 1]^T$ in the row space of $A$?
What is the closest vector to $\mathbf{b} = [0, 3, 0, 1]^T$ in the row space of $A$?
- A $[1, 1, 2, 0]^T$
- B $[0, -2, -1, 1]^T$
- C $[-1, 2, 0, -1]^T$
- D $[-1, 2, 1, 0]^T$
- E $[1, 1, 3, 1]^T$
思路引導 VIP
如果在空間中有一平面（列空間）和一條垂直於該平面的直線（零空間），而你想在平面上找到離某個外部點 $\mathbf{b}$ 最近的點，除了直接投影到平面外，你覺得先計算該點在「垂直線」上的投影，再用原向量去扣除它，會不會讓計算變得更簡單？你能試著從矩陣 $R$ 的方程式中，找出一組與所有列向量都垂直的非零向量嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準地選出選項 (D)，代表你對線性代數中**投影（Projection）與子空間（Subspace）**的幾何意義有相當紮實的掌握。這道題目要求尋找列空間（Row Space）中最接近 $\mathbf{b}$ 的向量，本質上就是在考察正交投影的運算。
列空間與正交補餘的轉換
在解題思路上，我們首先要意識到矩陣 $A$ 與其簡化列梯形形式（RREF） $R$ 擁有相同的列空間。雖然我們可以直接將 $\mathbf{b}$ 投影到由 $R$ 的列向量所構成的空間，但最聰明的切入點是利用**正交補餘（Orthogonal Complement）**的觀念。由於 $R$ 的零空間（Null Space）正交於列空間，我們可以輕易觀察出零空間的一個基底向量為 $\mathbf{n} = [1, 1, -1, 1]^T$。接著，利用公式 $\mathbf{p} = \mathbf{b} - \text{proj}_{\mathbf{n}}(\mathbf{b})$，計算出 $\mathbf{b}$ 在 $\mathbf{n}$ 方向上的分量為 $[1, 1, -1, 1]^T$，兩者相減後便能迅速得到答案 $[-1, 2, 1, 0]^T$。
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