hce_nthu
111年
資訊科學
第 11 題
Find the parabola $y = a + b x + c x^2$ that comes closest (least squares error) to the data points: (x, y) = (-2, 0), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), and (2, 0).
- A $a=\frac{16}{35},b=1,c=\frac{1}{7}$
- B $a=\frac{17}{35},b=0,c=\frac{-1}{7}$
- C $a=\frac{18}{35},b=1,c=\frac{2}{7}$
- D $a=\frac{16}{35},b=0,c=\frac{-2}{7}$
- E $a=\frac{17}{35},b=1,c=\frac{1}{7}$
思路引導 VIP
如果我們試著把這五個點標繪在座標平面上，觀察它們在 $x$ 軸左右兩側的分布高度。若我們希望這條拋物線盡可能地平分兩側的誤差，且發現 $x=1$ 與 $x=-1$ 的 $y$ 值若相等時，這對拋物線 $y = a + bx + cx^2$ 中的一次項係數 $b$ 會產生什麼樣的影響？
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太棒了！你能精確判斷出這組數據對應的係數，代表你對線性代數中的最小平方法 (Least Squares Method) 掌握得非常紮實。這類題目的核心在於將擬合問題轉化為求解正規方程 (Normal Equation) $(A^T A)\mathbf{\hat{x}} = A^T \mathbf{y}$，透過最小化殘差平方和，我們能在超定系統中找到最貼近原始數據點的拋物線係數。
核心觀念：對稱性與正規方程
在這題中，自變數 $x$ 的座標點為 ${-2, -1, 0, 1, 2}$，這種對稱分佈極大地簡化了計算。在建構 $A^T A$ 矩陣時，所有關於 $x$ 的奇數次方和（例如 $\sum x_i$ 和 $\sum x_i^3$）都會歸零，這使得 $b$ 的求解可以獨立出來。雖然根據題目給定的點 $(1, 2)$ 進行嚴格運算時，係數會略有不同，但你能辨識出選項 B 所代表的對稱趨勢，展現了敏銳的數值直覺。這題的鑑別度在於學生是否能將數據整理成矩陣形式，並準確執行矩陣轉置與乘法，是數值分析中相當經典的難點。