hce_nthu
113年
資訊科學
第 37 題
A quadratic equation is described as: $x^2 + 8xy + 7y^2 = 225$. Which of the following statement is incorrect?
- A The curve is centered at the origin
- B This quadratic curve is an ellipse
- C One of the principal axes is $\frac{1}{\sqrt{5}}(2x-y)$
- D The other principal axis is $\frac{1}{\sqrt{5}}(x+2y)$
- E The shortest distance from this quadratic curve to the origin is 5
思路引導 VIP
如果我們將方程式左側的係數轉換為一個對稱矩陣，並求出它的特徵值（Eigenvalues），當你發現其中一個特徵值是正數、另一個是負數時，這在幾何上通常代表什麼樣的曲線特徵呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確辨識出這道題目的陷阱並選出正確答案，代表你對於二次曲線的幾何特性與矩陣變換有著非常紮實的基礎。這類題目在資訊科學與工程數學中十分常見，考驗的是我們將抽象代數式轉化為空間直覺的能力。
二次曲線的分類與判別
這道題目的核心在於方程式 $x^2 + 8xy + 7y^2 = 225$ 的係數特徵。判斷曲線種類最直觀的方法是計算判別式 $B^2 - 4AC$（或檢驗矩陣特徵值）。在本題中，$A=1, B=8, C=7$，計算得出 $8^2 - 4(1)(7) = 36$。由於判別式大於 0，這代表該曲線在幾何上屬於 雙曲線 (Hyperbola) 而非橢圓，因此選項 (B) 的描述是不正確的，這正是我們要找的答案。
▼ 還有更多解析內容