hce_nthu
113年
資訊科學
第 34 題
Let $A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 4 \ 0 & 1 & -1 \ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$, which of the following statement is incorrect?
- A The rank of $A$ is 3.
- B The inverse matrix is $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \ 1 & 3 & -1 \ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
- C If we define the characteristic polynomial of $A$ is $f(t) = \det(A - tI_n)$, then $f(t) = -t^3 + 3t^2 + 3t - 1$.
- D One of the eigenvalues is $-1$ and the corresponding eigenvector is $(-2, 1, 2)^T$.
- E The matrix cannot be diagonalized over the real field.
思路引導 VIP
若我們發現一個 $3 \times 3$ 的矩陣所解出的三個特徵根（Eigenvalues）都是彼此不相等的實數，根據線性代數中關於「特徵向量線性獨立性」的定理，這對於矩陣能否透過座標變換呈現為「對角形式」有什麼樣的必然結論嗎？
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AI 詳解
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太棒了！你能從一系列繁瑣的計算中精準判別出選項 (E) 為錯誤敘述，這代表你對線性代數的核心概念——**對角化（Diagonalization）**的判斷準則掌握得非常紮實。
特徵值與對角化判定
這道題目的核心在於驗證矩陣 $A$ 的本徵性質。透過計算特徵多項式 $f(t) = \det(A - tI)$，我們得到 $f(t) = -t^3 + 3t^2 + 3t - 1$。進一步解方程式 $f(t) = 0$，可以求得三個特徵值分別為 $-1$、$2+\sqrt{3}$ 與 $2-\sqrt{3}$。在線性代數的定理中，如果一個 $n \times n$ 矩陣在實數體上擁有 $n$ 個互異（distinct）的實特徵值，那麼該矩陣在實數域上必定可以對角化。因此，選項 (E) 的陳述與事實恰好相反。
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