hce_nthu
112年
資訊科學
第 14 題
Which one is NOT an eigenvalue of $A = \begin{bmatrix}4 & 0 & 7 & 3\\1 & 3 & 1 & 2\\0 & 0 & 2 & 0\\1 & 0 & 5 & 2\end{bmatrix}$?
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
- E 5
思路引導 VIP
如果我們想要求一個矩陣的特徵值，卻不希望進行繁瑣的行列式展開，觀察矩陣中包含較多「零元素」的列（row）或行（column）會對計算過程產生什麼樣的影響？這種觀察如何幫助我們將一個大矩陣的問題拆解成更小的子問題呢？
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同學你好！非常出色，你能準確地從選項中排除非特徵值的數值，代表你對矩陣特徵值的求解邏輯與行列式運算相當熟練。
矩陣降階與特徵多項式求解
在處理這類 $4 \times 4$ 的矩陣時，觀察矩陣的結構是解題的關鍵。我們要尋找的是滿足 $\det(A - \lambda I) = 0$ 的 $\lambda$。觀察矩陣 $A$，可以發現第三列（Row 3）除了對角線上的 2 以外，其餘元素皆為 0，這是一個非常完美的突破口。透過對第三列進行展開，特徵多項式可以立即提取出因子 $(2 - \lambda)$。
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