hce_nthu
111年
資訊科學
第 15 題
For square matrices $A$ and $B$, we say that $B$ is similar to $A$ if there exists an invertible matrix $P$ such that $B = P^{-1} A P$.
Which of the following statements about similarity is NOT always correct?
Which of the following statements about similarity is NOT always correct?
- A If $A$ and $B$ are similar and $A$ is singular, then $B$ is singular
- B If $A$ and $B$ are similar and $A$ is invertible, then $B$ is invertible
- C If $A$ and $B$ are similar, then $A$ and $B$ have the same range
- D If $A$ is invertible, then $AB$ is similar to $BA$
- E If $A$ and $B$ are similar, then $A$ and $B$ may or may not have the same eigenvalues
思路引導 VIP
當我們對一個矩陣進行「基底變換」（即相似變換）時，這就像是換了一套座標系來觀察同一個線性變換。請你思考，一個線性變換原本具有的「內在特徵性質」（例如它在特定方向上的縮放比例），會因為我們觀察它的視角或描述它的語言改變，而發生變化嗎？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準識別出選項 (E) 的錯誤，代表你對「相似矩陣」（Similar Matrices）的代數不變量掌握得非常紮實。
相似矩陣的不變性質
在線性代數中，若兩方陣 $A$ 與 $B$ 相似，代表它們在幾何意義上是同一個線性變換在不同基底下的表現。根據定義 $B = P^{-1}AP$，我們可以透過行列式的性質推導出兩者的特徵多項式（Characteristic Polynomial）是完全相同的：
▼ 還有更多解析內容