hce_nthu
111年
資訊科學
第 5 題
Suppose $A=\begin{bmatrix}1&-2&3\\-2&4&2\\3&-6&1\end{bmatrix}$ and $B=\begin{bmatrix}-2&4&7\\0&3&-6\\0&0&0\end{bmatrix}$. Define
$S_1=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax=B\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}\};$
$S_2=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Bx=A\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}\};$
$S_3=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax=2x\};$
$S_4=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Bx=3x\};$
$S_5=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax=Bx\}$.
How many of $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ are subspaces of $\mathbb{R}^3$?
$S_1=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax=B\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}\};$
$S_2=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Bx=A\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}\};$
$S_3=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax=2x\};$
$S_4=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Bx=3x\};$
$S_5=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax=Bx\}$.
How many of $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ are subspaces of $\mathbb{R}^3$?
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
- E 5
思路引導 VIP
在檢查一個集合是否具備子空間資格時，如果我們不想直接驗證封閉性，哪一個「最簡單的特定向量」是該集合必須包含的？如果將這個向量帶入集合的定義等式後發現不成立，這對該集合的性質說明了什麼？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你答對了！這題考驗的是對**線性子空間（Subspace）**定義的深刻理解，你能從複雜的矩陣運算中精確識別出哪些集合滿足定義，代表你的線性代數觀念非常紮實。
子空間的判別核心：齊次性
在 $\mathbb{R}^n$ 中，一個集合要成為子空間，最直觀的判別方式就是看它是否能表示成**齊次線性方程組（Homogeneous system）**的解集合，也就是 $Mx = 0$ 的形式。這類集合（零空間）必然包含零向量，且自動滿足加法與係數乘法的封閉性。觀察 $S_3, S_4, S_5$，我們發現它們都可以透過移項改寫為 $(A-2I)x=0$、$(B-3I)x=0$ 以及 $(A-B)x=0$，因此它們毫無疑問都是子空間。
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