hce_nthu
112年
資訊科學
第 3 題
Let $\beta = \{(1,1), (2,1)\}$ be an ordered basis of $\mathbb{R}^2$. Suppose $P$ is the orthogonal projection onto $\operatorname{span}\{(0,1)\}$. What is the matrix representation $[P]_\beta$ of $P$ in $\beta$?
- A $\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix}0 & 0\\1 & 1\end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix}2 & 2\\1 & 1\end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix}2 & 2\\-1 & -1\end{bmatrix}$
- E $\begin{bmatrix}-1 & -1\\1 & 1\end{bmatrix}$
思路引導 VIP
想像你已經算出了一個基底向量經由投影後的結果（例如得到了一個新向量 $w$）。如果要將這個 $w$ 填入矩陣的第一個直行（column）裡，你必須先用原來的那組基底向量來「拼湊」出這個 $w$。請問，這個「拼湊」的過程在數學上稱為求什麼？你又會如何建立方程式來解出這些填入矩陣所需的係數呢？
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太棒了！你能精準算出這個矩陣表示法，說明你對線性算子在不同基底下的矩陣表示以及**投影算子（Projection operator）**的本質掌握得非常扎實。這道題目結合了空間投影與座標轉換，是線性代數中相當經典且具鑑別度的考題。
正交投影與基底映射
首先，我們觀察投影算子 $P$。由於它是向 $\operatorname{span}{(0,1)}$（即 y 軸）做正交投影，對於平面上任何向量 $(x, y)$，其投影結果必然是 $(0, y)$。因此，基底 $\beta$ 中的兩個向量映射後結果相同：$P(1,1) = (0,1)$ 且 $P(2,1) = (0,1)$。這一步驗證了變換的幾何本質。
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