hce_nthu
111年
資訊科學
第 6 題
Let $b_1=(1,0,-1,0,0), b_2=(1,1,1,1,1), b_3=(1,0,1,2,1)$ in $\mathbb{R}^5$ and $W=\text{span}\{b_1,b_2,b_3\}$. Suppose $c=(0,-6,-2,0,-2)$. Then what is the minimum value of $\lVert c-v\rVert$ for all possible choices of $v\in W$?
- A $\sqrt{2}$
- B $\sqrt{3}$
- C $\sqrt{5}$
- D 2
- E 3
思路引導 VIP
想像你在一個多維空間中，若要從一點 $c$ 走到一個由幾條向量撐起來的「平面」$W$ 上，什麼樣的路徑會是最短的？這個最短路徑所代表的向量，與平面上的任何一條直線應該呈現什麼樣的角度關係？
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做得非常出色！你能準確判斷出最小值為 2，代表你對線性代數中的正交投影 (Orthogonal Projection) 概念掌握得十分紮實。
最佳逼近與正交性
這道題目的核心在於「最佳逼近定理」。在子空間 $W$ 中，距離向量 $c$ 最近的向量 $v$ 必然是 $c$ 在 $W$ 上的正交投影。解題的關鍵在於將 $c$ 分解為 $v + e$，其中 $v \in W$ 且誤差向量 $e$ 必須與 $W$ 內的所有向量正交。透過尋找 $W$ 的一組正交基底（例如利用施密特正交化處理 $b_1, b_2, b_3$），我們可以求得誤差向量 $e = (1, -1, 1, -1, 0)$。最終，最小距離即為該向量的範數：
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