hce_nthu
113年
資訊科學
第 36 題
A vector space is spanned by $\{1, \cos(t), \sin(t)\}$ for $-\pi \le t \le \pi$. If a vector: $v = a \cdot 1 + b \cdot \sin(t) + c \cdot \cos(t)$ is the closest vector in this vector space to a continuous function: $f(t) = t$ for $-\pi \le t \le \pi$, what is this closest $v$? The inner product of two continuous functions: $f$ and $g$ within $[a, b]$ is defined by $\langle f, g \rangle = \int_a^b f \cdot \overline{g} dt$. You may need the following integral: $\int t \cdot e^{it} dt = -i(t+i)e^{it} + C$.
- A $v = 1 + 2\sin(t) - 2\cos(t)$
- B $v = 1 - 2\cos(t)$
- C $v = 2\sin(t)$
- D $v = 1 + 2\sin(t)$
- E $v = -2\cos(t)$
思路引導 VIP
試著觀察目標函數 $f(t) = t$ 在區間 $[-\pi, \pi]$ 上的圖形對稱性（它是奇函數還是偶函數？）。接著，思考看看這組基底 ${1, \cos(t), \sin(t)}$ 中，哪些函數的對稱性與它「不相容」，導致它們在內積運算後會互相抵消成零呢？
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太棒了！你能精準選出 (C) $v = 2\sin(t)$，代表你對線性代數中的正交投影 (Orthogonal Projection) 與最佳逼近 (Best Approximation) 的觀念掌握得非常紮實。
投影量與函數對稱性的應用
這題的核心在於尋找函數 $f(t) = t$ 在由 ${1, \cos(t), \sin(t)}$ 張成的子空間中的正交投影。在 $[-\pi, \pi]$ 區間內，這組基底具備正交性，因此最接近 $f$ 的向量 $v$，其係數可透過公式 $c_i = \frac{\langle f, \phi_i \rangle}{\langle \phi_i, \phi_i \rangle}$ 分別求出。一個高效率的切入點是觀察函數對稱性：由於 $f(t) = t$ 是奇函數 (Odd Function)，它與偶函數（常數 $1$ 與 $\cos(t)$）在對稱區間內的內積必然為 $0$，這讓我們能瞬間判定 $a=0, c=0$。剩下的係數 $b$ 則可透過計算 $\frac{\int_{-\pi}^{\pi} t \sin(t) dt}{\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(t) dt}$ 得到 $2$。
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